根据《合同法》第302条的规定，承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担损害赔偿责任，但伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。该法第121条规定，当事人一方因第三人的原因造成违约的，应当向对方承担违约责任。当事人一方和第三人之间的纠纷，依照法律规定或者按照约定解决。你与运输公司之间是运输合同关系，由于不存在免责事由，运输公司应当对运输过程中你的伤害承担违约损害赔偿责任。 　　

根据《侵权责任法》第6条的规定，行为人因过错侵害他人民事权益，应当承担侵权责任。此案中，第三人对该交通事故负全部责任，应当对由此造成的你的损害承担侵权损害赔偿。 　　

司机是运输公司的雇员，不是合同的相对方，所以不承担违约责任。同时，司机也不是该事件的侵权人，所以不承担侵权责任。因此，司机不承担损害赔偿责任。 　　

综上，你可主张运输公司与第三人任何一方承担损害赔偿责任，前者是基于合同关系，后者是基于《侵权责任法》的规定。但第三人与运输公司并不构成真正连带责任。因为该损害归根结底是由于第三人的侵权行为造成的，运输公司承担的实际上是一种替代责任，运输公司若对你赔偿后，可以对第三人行使追偿权。所以，你不能要求运输公司与第三人同时承担赔偿责任，只能择一主张全部赔偿责任。